『大学院へのマクロ経済学』練習問題5、問題2、②

おそらく模範回答が間違っているので…

上に広がる定積分

${ \int }_0^{\infty }{2}^{-x}\mathrm{dx}$

を求めよ、という問題。模範回答は$\frac{-1}{\log 2}$、すなわち負の値となるように書かれているが、$2^{-x}>\mathrm{0を考えれば明らかにおかしい。積分区間が誤っているからだと思われる。}$

「tの積分区間は0≤t≤1であることに注意する」とあるが、変数変換を行った時点ではx:0→∞に対応するtの区間はt:1→0なので、次に示すような積分になるはずである。

${ \int }_0^{\infty }{2}^{-x}\mathrm{dx}={\int }_1^{0}t\left(-\frac{1}{t·\log 2}\right)\mathrm{dt}=\frac{1}{\log 2}\left(-1\right){\int }_1^0\mathrm{dt}$

ここに積分区間の入れ替えを行って、

　（与式）$=\frac{1}{\log 2}{\int }_0^1\mathrm{dt}=\mathrm{1/log}2$

を得るはずである。模範解答では積分区間の逆転が起きている。